La pizza si può dividere in parti perfettamente uguali anche se i tagli non passano dal centro. A dimostrarlo è il cosiddetto teorema della pizza, un risultato matematico pubblicato nel 1968 sulla rivista Mathematics Magazine, che spiega come ottenere porzioni di identica superficie seguendo una precisa sequenza di tagli. A prima vista le fette sembrano irregolari, ma la loro area complessiva risulta esattamente la stessa.
Sembrano diverse ma hanno lo stesso peso queste fette di pizza
È decisamente una curiosità teorica, che non metteremmo mai in pratica soprattutto in Italia viste le nostre dimensioni della pizza ma in molti Paesi, soprattutto anglosassoni o che vivono l’influenza politica degli Stati Uniti, il formato delle pizze tonde può essere anche molto grosso, pensate per essere condivise. È proprio da questa osservazione che nasce uno dei teoremi più noti della cosiddetta matematica ricreativa.
Il principio è sorprendente nella sua semplicità anche se sembra controintuitivo. Non bisogna partire dal centro della pizza, ma scegliere un qualsiasi punto all’interno del disco. Da quel punto si esegue un primo taglio rettilineo e poi un secondo, perpendicolare al primo, sempre attraversando lo stesso punto. Si ottengono così quattro settori. Successivamente ciascuno dei quattro angoli viene diviso a metà con altri quattro tagli che passano ancora per il medesimo punto. Il risultato finale è una pizza suddivisa in otto fette.
A questo punto entra in gioco la parte meno intuitiva del teorema. Le fette non hanno tutte la stessa forma e alcune appaiono più grandi di altre. Eppure, se due persone prendono le porzioni in modo alternato, cioè la prima, la terza, la quinta e la settima da una parte e la seconda, la quarta, la sesta e l’ottava dall’altra, ciascuna riceverà esattamente la stessa quantità di pizza. Le differenze tra una fetta più ampia e una più piccola si compensano infatti grazie alla particolare simmetria della costruzione geometrica.
La dimostrazione è stata resa ancora più celebre negli anni successivi da Larry Carter e Stan Wagon con una cosiddetta “dimostrazione senza parole”. Attraverso una serie di figure geometriche, i due matematici mostrarono come ogni settore trovi il proprio equivalente tra quelli alternati, rendendo evidente l’equivalenza delle superfici senza ricorrere a formule complesse.
Il principio può essere esteso anche quando i commensali sono più di due. Se, ad esempio, le persone sono tre, ogni angolo retto viene suddiviso in tre parti invece che in due, ottenendo dodici spicchi. Distribuendo poi le fette in modo alternato tra i tre partecipanti, ciascuno riceve quattro porzioni che, sommate, hanno la stessa area delle altre.
Il teorema, però, non vale in qualsiasi situazione. La proprietà matematica è garantita soltanto quando il numero complessivo delle fette è ottenuto con una suddivisione che produce un numero pari e multiplo di quattro, come otto, dodici, sedici o venti porzioni. Se invece si ottengono sei o dieci spicchi, oppure soltanto quattro, la particolare simmetria su cui si basa la dimostrazione viene meno e non esiste più la certezza che le aree alternate coincidano.
Studi successivi hanno analizzato proprio questi casi, mostrando che le differenze possono essere molto contenute ma dipendono dalla disposizione dei tagli. Non è quindi il punto scelto all’interno della pizza a determinare un vantaggio per qualcuno, bensì la geometria complessiva della suddivisione.
